Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（2，1），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用题干中的两个条件，和椭圆本身的性质，得$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}.\end{array}\right.$，然后求解，代入即可；
（2）由题干“过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点．设直线l的方程为y=k（x-3），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-3）\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0，设M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
然后利用根与系数的关系，代换出$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}=（{x_1}-3）（{x_2}-3）+{y_1}{y_2}$=$\frac{{3+3{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，注意：k的范围．

解答 （1）$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$；（2）（2，3]．
解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}.\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{6}$，$b=\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-3），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-3）\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．
∵直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，
∴△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．
设M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{12{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{18{k^2}-6}}{{1+2{k^2}}}$，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}=（{x_1}-3）（{x_2}-3）+{y_1}{y_2}$=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]
=$\frac{{3+3{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$=$\frac{3}{2}+\frac{3}{{2（1+2{k^2}）}}$．
∵-1＜k＜1，
∴$2＜\frac{3}{2}+\frac{3}{{2（1+2{k^2}）}}≤3$，
∴$\overrightarrow{BM}•\;\overrightarrow{BN}$的范围为（2，3]．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，椭圆定义，转化与化归思想，舍而不求思想的运用．