Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²+2a_n，求a_n．

Answer 1

分析 通过在a_n+1=a_n²+2a_n，两边同时加上1，利用完全平方公式可知a_n+1+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，通过在其两边同时取对数可构造以1为首项、2为公比的等比数列{log₃（a_n+1）}，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴log₃（a_n+1+1）=log₃$（{a}_{n}+1）^{2}$=2log₃（a_n+1），
又∵log₃（a₁+1）=log₃（2+1）=1，
∴数列{log₃（a_n+1）}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴log₃（a_n+1）=2^n-1，
∴a_n=-1+${3}^{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．