Question

15．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=-x²+2x．
（1）写出该函数的解析式；
（2）在给定的图示中画出函数f（x）的图象（不需列表）；
（3）写出该函数值域，单调区间（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，则-x＞0，根据函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-x²+2x+1，可得函数解析式；
（2）根据函数的解析式，可得函数的图象；
（3）利用函数的图象，可得函数的单调区间与函数的值域．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0
因为函数f（x）为R上的偶函数，所以f（x）=f（-x）=-x²-2x
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）函数f（x）的图象如图所示：

（3）由图象可知：f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（0，1），f（x）的单调减区间为（-1，0），（1，+∞），f（x）的值域是（-∞，1]．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，考查函数的图象，考查数形结合的数学思想，属于中档题．