Question

4．已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点B（0，1），M（2，t）（t＞0）是动点
（1）求椭圆的标准方程
（2）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值
（3）设点P（x，y）在椭圆上，求x+y的最大、最小值．

Answer 1

分析 （1）椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点B（0，1），求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）由平几知|ON|²=|OK||OM|，直线OM：y=$\frac{t}{2}$x，直线FN：y=-$\frac{2}{t}$（x-1），联立得x_K=$\frac{4}{{t}^{2}+4}$．由此能证明线段ON的长为定值．
（3）利用椭圆的参数方程，即可得出结论．

解答 （1）解：∵椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点B（0，1），
∴b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而a=$\sqrt{2}$．…（2分）
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）证明：由平几知：|ON|²=|OK||OM|，（K为垂足）
直线OM：y=$\frac{t}{2}$x，直线FN：y=-$\frac{2}{t}$（x-1），联立得x_K=$\frac{4}{{t}^{2}+4}$．
∴|ON|²=$\sqrt{（1+\frac{{t}^{2}}{4}）{x}_{K}}$•$\sqrt{（1+\frac{{t}^{2}}{4}）{x}_{M}}$=（1+$\frac{{t}^{2}}{4}$）•$\frac{4}{{t}^{2}+4}$•2=2．
∴线段ON的长为定值$\sqrt{2}$． …（8分）
（3）解：设x=$\sqrt{2}$cosα，y=sinα，则x+y=$\sqrt{2}$cosα+sinα=$\sqrt{3}$sin（α+θ），
∴x+y的最大、最小值分别为$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$． …（12分）

点评 本题考查椭圆的方程与运用，考察平面几何知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．