Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+4，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+4x+4，x＜0}\end{array}\right.$
（Ⅰ）求f（1），f（-3），f（a+1）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用分段函数求f（1），f（-3），f（a+1）的值；
（Ⅱ）利用分段函数，通过分类讨论列出方程求解函数f（x）的零点．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为1＞0，所以f（1）=1²-4×1+4=1；                          （1分）
因为-3＜0，所以f（-3）=（-3）²+4×（-3）+4=1；                         （2分）
当a+1＞0，即a＞-1时，f（a+1）=（a+1）²-4（a+1）+4=a²-2a+1；    （3分）
当a+1=0，即a=-1时，f（a+1）=0；                                   （4分）
当a+1＜0，即a＜-1时，f（a+1）=（a+1）²+4（a+1）+4=a²+6a+9；   （5分）
所以$f（a+1）=\left\{\begin{array}{l}{a^2}-2a+1，a＞-1\\ 0，a=-1\\{a^2}+6a+9，a＜-1.\end{array}\right.$（6分）
（Ⅱ）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\{x^2}-4x+4=0\end{array}\right.$，解得x=2；                                           （8分）
或$\left\{\begin{array}{l}x＜0\\{x^2}+4x+4=0\end{array}\right.$，解得x=-2．（10分）
又因为f（0）=0，（11分）
所以函数f（x）的零点为2、0与-2．（12分）

点评 本题考查分段函数的应用，分类讨论思想以及函数思想的应用，考查计算能力．