Question

11．若f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-2ax+a+5}$在（-2，2）上单调递增，则a的取值范围是[2，3]．

Answer 1

分析 运用复合函数的单调性：同增异减，设z=x²-2ax+a+5，则y=$\frac{1}{z}$，且函数的减区间为（-∞，0），（0，+∞），由f（x）在（-2，2）递增，即有二次函数z在（-2，2）递减，且恒大于0或恒小于0，讨论对称轴和区间的关系，即可得到所求范围．

解答 解：设z=x²-2ax+a+5，
则y=$\frac{1}{z}$，且函数的减区间为（-∞，0），（0，+∞），
由f（x）在（-2，2）递增，
即有二次函数z在（-2，2）递减，且恒大于0或恒小于0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{4-4a+a+5≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{4+4a+a+5≤0}\end{array}\right.$，
解得2≤a≤3或a∈∅，
综上可得，a的范围是[2，3]．
故答案为：[2，3]．

点评 本题考查复合函数的单调性：同增异减，注意运用二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．