Question

6．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a²+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x≠-1）恰有4个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=-4．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=x²+2x，可得图象关于x=-1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x≠-1）的图象关于直线x=-1对称，进而可得四个根关于直线x=-1对称，由此可得其和．

解答 解：由题意可得f（x）=x*2=x²+2x，
其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=-1，
函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到，
而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y轴对称，
故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=-1对称，
故方程为f（x）=ln|x+1|（x≠-1）四个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，
也关于直线x=-1对称，不妨设x₁与x₂对称，x₃与x₄对称，
必有x₁+x₂=-2，x₃+x₄=-2，
故x₁+x₂+x₃+x₄=-4，
故答案为：-4．

点评 本题考查函数与方程的应用，由新定义得出函数解析式并得出两个函数图象均关于直线x=-1对称是解决问题的关键，利用数形结合比较容易理解．