Question

1．已知x²+y²=1，求u=$\sqrt{3x+4y+5}$+$\sqrt{4x+3y+5}$的最大值．

Answer 1

分析 由x²+y²=1，可设x=cosα，y=sinα（0≤α≤$\frac{π}{2}$），代入所求式子，运用柯西不等式和三角函数的辅助角公式，结合正弦函数的值域即可得到最大值．

解答 解：由x²+y²=1，可设x=cosα，y=sinα（0≤α≤$\frac{π}{2}$），
即有u²=（$\sqrt{3x+4y+5}$+$\sqrt{4x+3y+5}$）²=（$\sqrt{3cosα+4sinα+5}$+$\sqrt{4cosα+3sinα+5}$）²
≤（1+1）（7sinα+7cosα+10）=2（7$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+10），
即有x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，u取得最大值$\sqrt{14\sqrt{2}+20}$．

点评 本题考查换元法的运用，注意运用三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．