Question

12．已知cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）．
（1）求sinx的值；
（2）求cos（2x-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），∴x-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（x-\frac{π}{4}）}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴sinx=sin[（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（x-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（x-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}•\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{10}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{5}$．
（2）∵x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），sinx=$\frac{4}{5}$，∴cosx=-$\sqrt{{1-sin}^{2}x}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin2x=2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$，cos2x=2cos²x-1=2•$\frac{9}{25}$-1=-$\frac{7}{25}$，
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）=cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$=-$\frac{7}{25}$•$\frac{1}{2}$-$\frac{24}{25}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．