Question

2．已知函数f（x）=mx²-2x+3，对任意x₁，x₂∈[-2，+∞）满足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则实数m的取值范围[-$\frac{1}{2}$，0]．

Answer 1

分析 先求出函数的单调性，再通过讨论m的范围，结合二次函数的性质从而求出m的范围即可．

解答 解：对任意x₁，x₂∈[-2，+∞）满足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
得f（x）在[-2，+∞）单调递减，
当m=0时：f（x）=-2x+3，符合题意，
m≠0时，则m＜0，
此时，对称轴x=-$\frac{-2}{2m}$=$\frac{1}{m}$≤-2，
解得：m≥-$\frac{1}{2}$，
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，0]．

点评 本题考察了二次函数的性质，考察函数的单调性问题，考察分类讨论思想，是一道中档题．