Question

7．设0＜α＜π＜β＜2π，向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overline{b}$=（2cosα，sinα），$\overrightarrow{c}$=（sinβ，2cosβ），$\overrightarrow{d}$=（cosβ，-2sinβ）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求α；
（2）若|$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{d}$|=$\sqrt{3}$，求sinβ+cosβ的值；
（3）若tanαtanβ=4，求证：$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$便有2cosα+2sinα=0，从而得到tanα=-1，这样由α的范围便可求出α；
（2）先求出$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$的坐标，根据$|\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}|=\sqrt{3}$便可得到5-6sinβcosβ=3，从而求出$sinβcosβ=\frac{1}{3}$，这说明sinβ，cosβ同号，再根据β的范围便可判断sinβ＜0，cosβ＜0，而可求得$（sinβ+cosβ）^{2}=\frac{5}{3}$，这样即可求出sinβ+cosβ的值；
（3）由tanαtanβ=4便可得到4cosαcosβ-sinαsinβ=0，这样由平行向量的坐标关系即可得出$\overrightarrow{b}∥\overrightarrow{c}$．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
即2cosα+2sinα=0；
∴tanα=-1；
∵0＜α＜π；
∴$α=\frac{3π}{4}$；
（2）$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=（sinβ+cosβ，2cosβ-2sinβ）$；
$|\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}|=\sqrt{3}$；
∴$（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}）^{2}=3$；
∴（sinβ+cosβ）²+4（cosβ-sinβ）²=3；
∴5-6sinβcosβ=3；
∴sinβcosβ=$\frac{1}{3}$，则sinβ，cosβ同号；
∴（sinβ+cosβ）²=1+2sinβcosβ=$1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$；
∵π＜β＜2π；
又sinβ，cosβ同号；
∴$π＜β＜\frac{3π}{2}$，即sinβ＜0，cosβ＜0；
∴$sinβ+cosβ=-\frac{\sqrt{15}}{3}$；
（3）证明：由tanαtanβ=4得，$\frac{sinα}{cosα}•\frac{sinβ}{cosβ}=4$；
∴sinαsinβ=4cosαcosβ；
∴4cosαcosβ-sinαsinβ=0；
∴$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{c}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，已知三角函数值求角，向量坐标的加法运算，根据向量坐标求向量长度，切化弦公式，以及平行向量的坐标关系．