Question

16．已知在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²-a_nS_n+2a_n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2^n-1，记数列{$\frac{1}{{S}_{n}{b}_{n}}$}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）把a_n=S_n-S_n-1代入S_n²-a_nS_n+2a_n=0整理得出S_n，S_n-1的关系，再由a_n=S_n-S_n-1得出a_n．
（2）使用裂项法求出数列的和．

解答 解：（1）∵S_n²-a_nS_n+2a_n=0，∴S_n²-（S_n-S_n-1）S_n+2（S_n-S_n-1）=0，即S_nS_n-1+2S_n-2S_n-1=0．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$．∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1）．∴S_n=$\frac{2}{n+1}$．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{n+1}$-$\frac{2}{n}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{n（n+1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）T_n=1×$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，①
∴$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{{2}^{2}}$+2×$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n+1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{n}}$，②
①-②得$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$）-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，裂项法求和，发现{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列是解题关键，属于难题．