Question

17．若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=3-x²，函数g（x）=sin（|x|），则使方程f（x）=g（x）在[-10，10]内根的个数为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 根据条件求出函数的周期性，根据函数的奇偶性和周期性的关系求出函数在一个周期内的解析式，利用数形结合斤求解即可．

解答 解：由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
即函数f（x）的周期是4．
若x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
即f（-x）=3-x²，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=3-x²=f（x），
即f（x）=3-x²，x∈[-2，0]，
∴f（x）=3-x²，x∈[-2，2]，
作出函数f（x）和g（x）=sin（|x|）在[-10，10]上的图象如图：
则两个函数的交点个数为10个，
故方程f（x）=g（x）在[-10，10]内根的个数为10个，
故选：D．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，函数奇偶性的性质，以及函数与方程的应用，利用数形结合是解决本题的关键．