Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x在区间（$\frac{1}{2}$，3）上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （2，$\frac{5}{2}$）
• D． （2，$\frac{10}{3}$）

Answer 1

分析 求导，由题意可知：f′（x）=0在（-2，2）内应有两个不同实数根．根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x，求导f′（x）=x²-ax+1，
由f（x）在（$\frac{1}{2}$，3）上既有极大值又有极小值，则f′（x）=0在（$\frac{1}{2}$，3）内应有两个不同实数根．
$\left\{\begin{array}{l}{f′（\frac{1}{2}）＞0}\\{f′（3）＞0}\\{\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜3}\\{f′（\frac{1}{a}）＜0}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜$\frac{5}{2}$，
实数a的取值范围（2，$\frac{5}{2}$），
故选C．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及函数极值的判断，二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．