Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BAC=90°，AB=a，AC=2，AA₁=1，点D在棱B₁C₁上，且B₁D：DC₁=1：3．过点D作DE∥A₁B₁交A₁C₁于点E．
（1）求证：A₁C⊥平面BDE；
（2）当点B₁到平面A₁BD的距离为$\frac{1}{2}$时，求直线B₁D与平面A₁BD所成的角．

Answer 1

分析 （1）由题意建立如图示的空间直角坐标系，血出各个点的坐标，进利用向量的垂直证明了线线的垂直，即可证明A₁C⊥平面BDE；
（2）求出平面A₁BD的法向量，利用向量的夹角公式，点B₁到平面A₁BD的距离为$\frac{1}{2}$，求出a，即可求直线B₁D与平面A₁BD所成的角．

解答 解：（1）证明：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，D（$\frac{3}{4}$a，$\frac{1}{2}$，1），A₁（0，0，1），B（a，0，0），C（0，2，0），
∴$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{a}{4}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，2，-1），
∵$\overrightarrow{BD}$$•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-$\frac{a}{4}$，$\frac{1}{2}$，1）•（0，2，-1）=0，
∴$\overrightarrow{BD}⊥\overrightarrow{{A}_{1}C}$，即BD⊥A₁C．
∵A₁C⊥A₁B₁，DE∥A₁B₁，
∴A₁C⊥DE，
∵BD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BDE；
（2）设平面A₁BD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（a，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{3}{4}$a，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax-z=0}\\{\frac{3}{4}ax+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，可得$\overrightarrow{n}$=（2，-3a，2a），
∵$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（$\frac{1}{4}$a，-$\frac{1}{2}$，0），点B₁到平面A₁BD的距离为$\frac{1}{2}$
∴$\frac{1}{2}$a+$\frac{3}{2}$a=$\sqrt{4+9{a}^{2}+4{a}^{2}}$•$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，-$\frac{1}{2}$，1），
∴|$\overrightarrow{D{B}_{1}}$|=$\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直线B₁D与平面A₁BD所成的角的正弦值为$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴直线B₁D与平面A₁BD所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．