Question

【题目】某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路，和山区边界的直线型公路，以，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，山区边界曲线为：，设公路与曲线相切于点.

（1）设公路交轴，轴分别为，两点，若公路的斜率为-1，求的长；

（2）在（1）条件下，测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.

Answer 1

【答案】（1）（千米）；（2）（千米）

【解析】

（1）设点的坐标为，求得导数后由直线的斜率为，代入可求得切点的横坐标，代入即可求得切点坐标，进而表示出直线的方程，即可求得的长；

（2）在中结合条件并由余弦定理可求得，同时由正弦定理可求得，进而由可求得，在中由勾股定理可得的长.

（1）不妨设点的坐标为，曲线为：，

则，

故，解得，

故，

所以直线方程为，

所以（千米）.

（2）在中，，，，

所以由余弦定理可得，

代入可得，

根据正弦定理，

∴，

∴，即，

又，

所以.

在中，，，

由勾股定理可得，

即，

解得（千米）.