Question

关于x的方程x²-xcosAcosB-cos²

C

2

=0有一个根为1，则△ABC一定是

 

 （判断三角形状）

Answer 1

分析：由题意得1-cosAcosB-cos²

C

2

=0，化简可得cos（A-B）=0，根据-π＜A-B＜π，求得A-B=0，从而得到结论．

解答：解：∵关于x的方程x²-xcosAcosB-cos²

C

2

=0有一个根为1，∴1-cosAcosB-cos²

C

2

=0，即 sin2

C

2

=cosAcosB，
∴

1-cosC

2

=cosAcosB，∴1=2cosAcosB-cos（A+B）=cosAcosB+sinA sinB=cos（A-B），
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，即 A=B，故△ABC一定是等腰三角形，
故答案为等腰三角形．

点评：本题考查两角和差的余弦公式的应用，求出cos（A-B）=0，及-π＜A-B＜π，是解题的关键，属于中档题．