Question

4．已知函数f（x）=lnx-ax+b（a，b∈R），若函数f（x）在x=2处的切线与直线y=2x+ln$\frac{2}{e}$垂直，且垂足的横坐标为$\frac{2}{5}$，其中e=2.71828…．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对?0＜x₁＜x₂，证明：$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由垂直的条件可得斜率之积为-1，解方程可得a=1，求得垂足，再由切点，结合两点的斜率公式，计算可得b=1，进而得到f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）f（x）=lnx-x+1．因为0＜x₁＜x₂，所以$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$等价于ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$（t＞1），则只需证明lnt＜t-1．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-ax+b的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
则函数f（x）在x=2处的切线斜率为$\frac{1}{2}$-a，
由切线与直线y=2x+ln$\frac{2}{e}$垂直，可得-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-a，
解得a=1，
又垂足为（$\frac{2}{5}$，ln2-$\frac{1}{5}$），
由$\frac{ln2-2+b-（ln2-\frac{1}{5}）}{2-\frac{2}{5}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得b=1，
则有f（x）=lnx-x+1，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
令f′（x）＞0可得0＜x＜1，令f′（x）＜0可得x＞1，
即有f（x）的增区间为（0，1），减区间为（0，1）；
（2）证明：f（x）=lnx-x+1．
因为0＜x₁＜x₂，
所以$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$等价于ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$（t＞1），
则只需证明lnt＜t-1，
令h（t）=lnt-t+1，
则h′（t）=$\frac{1}{t}$-1＜0，
所以h（t）在（1，+∞）上单调递减，
所以h（t）＜h（1）=0，
即lnt＜t-1．
则有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$成立．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真题，仔细解答，注意函数的导数、切线方程和单调性等知识点的综合运用．