Question

9．已知a、b为实数，且a＞0，b＞0，则（a+b+$\frac{1}{a}$）（a²+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$）的最小值为9．

Answer 1

分析 把要求的式子化为（a³+$\frac{1}{{a}^{3}}$）+（$\frac{1}{a}$+a）+（$\frac{a}{b}$+a²b+$\frac{b}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{ab}$），再利用基本不等式、不等式的性质求得它的最小值．

解答 解：∵a、b为实数，且a＞0，b＞0，则（a+b+$\frac{1}{a}$）（a²+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$）=（a³+$\frac{1}{{a}^{3}}$）+（$\frac{1}{a}$+a）+（$\frac{a}{b}$+a²b+$\frac{b}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{ab}$），
利用基本不等式可得 a³+$\frac{1}{{a}^{3}}$≥2，当且仅当a=1时，取等号；
$\frac{1}{a}$+a≥2，当且仅当a=1时，取等号；
$\frac{a}{b}$+a²b+$\frac{b}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{ab}$≥4，当且仅当a=1=b时，取等号；
故（a+b+$\frac{1}{a}$）（a²+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$）≥9，当且仅当a=1=b时，取等号，
故（a+b+$\frac{1}{a}$）（a²+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$）的最小值为9，
故答案为：9．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，不等式的性质；式子的变形是解题的关键，属于基础题．