Question

18．若不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式$\frac{2a+b}{x}$+c＞bx的解集为（-∞，0）．

Answer 1

分析 由题意得-1、2是方程ax²+bx+c=0的两根，得到a＜0，利用韦达定理得到b=-a，c=-2a，再解不等式即可．

解答 解：不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，
故-1和2是方程ax²+bx+c=0的两个根，且a＜0，
根据韦达定理得：-$\frac{b}{a}$=-1+2=1，即b=-a＞0，$\frac{c}{a}$=-2，即c=-2a＞0，
∵不等式$\frac{2a+b}{x}$+c＞bx，
∴-$\frac{1}{x}$+2＞x，
即 $\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}$＜0，
解得x＜0，
故答案为：（-∞，0）

点评 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次不等式的应用，属于基础题．