Question

7．已知等差数列{a_n}，a₃=7，a₂+a₅+a₈=39，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程组解方程即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法进行求和即可．

解答 解：（1）由题意知：3a₅=39，则a₅=13，
$又∵d=\frac{{{a_5}-{a_3}}}{5-3}=\frac{13-7}{2}=3$，
∴a_n=a₃+（n-3）d=3n-2
（2）b_n=$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$，
则T_n=1-$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$=1-$\frac{1}{3n+1}$＜1，
∴T_n的最小值为T₁=$\frac{3}{4}$，
要使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立，
则$\frac{m}{20}$≥1，
即m≥20，
即m的最小正整数m=20．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式以及数列求和的应用，利用裂项法是解决本题的关键．