Question

12．已知函数f（x）=2x³-6x²+a在[-2，2]上有最小值-37．
（Ⅰ）求a的值；     
（Ⅱ）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得[-2，2]的单调区间，求得最小值，解方程可得a的值；
（Ⅱ）求得x=1处切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=6x²-12x，
令f′（x）=0，得到x=0或x=2．
x∈[-2，0），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈[0，2]，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
又f（-2）=a-40，f（2）=a-8＞f（-2），
所以f（x）_min=a-40=-37，解得a=3．
（Ⅱ）f′（1）=-6，f（1）=-1，
所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（-1）=-6（x-1），
即6x+y-5=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．