Question

2．若9x²-6ax+a²-2a-6≥0在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$内恒成立，则a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{5}$]∪[5，+∞）．

Answer 1

分析 设f（x）=9x²-6ax+a²-2a-6，原不等式可化为f（x）≥0，不等式在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$内恒成立，即f（x）在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$内的最小值满足条件即可．求出对称轴，对区间和对称轴的位置讨论，结合单调性，解不等式可得a的范围．

解答 解：设f（x）=9x²-6ax+a²-2a-6，
原不等式可化为f（x）≥0，不等式在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$内恒成立，
即f（x）在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$内的最小值≥0成立即可．
由于二次项的系数为9＞0，所以f（x）是开口向上的二次函数，
其对称轴为x=$\frac{1}{3}$a，所以要对对称轴的分布分别讨论．
①当$\frac{1}{3}$a≤-$\frac{1}{3}$，即a≤-1时，f（x）在[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]上的最小值为
f（-$\frac{1}{3}$）=1+2a+a²-2a-6=a²-5，
由a²-5≥0得a≥$\sqrt{5}$（舍去）或a≤-$\sqrt{5}$．
即a≤-$\sqrt{5}$；
②当-$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{3}$a＜$\frac{1}{3}$，即-1＜a＜1时，f（x）在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$上的最小值为
f（$\frac{1}{3}$a）=-2a-6，
由-2a-6≥0解得a≤-3（舍去）；
③当$\frac{1}{3}$a≥$\frac{1}{3}$，即a≥1时，f（x）在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$上的最小值为
f（$\frac{1}{3}$）=1-2a+a²-2a-6=a²-4a-5=（a-5）（ a+1），
由（a-5）x（ a+1）≥0得a≤-1（舍去）a≥5，即a≥5．
综合①②③可得a的取值范围为a≤-$\sqrt{5}$或a≥5．
故答案为：（-∞，-$\sqrt{5}$]∪[5，+∞）．

点评 本题考查二次函数的性质和运用，考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论的思想方法和函数的单调性是解题的关键．