Question

11．已知函数f（x）=lnx，$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+a$（a为常数），函数f（x）图象上横坐标为1的点处的切线l，与函数g（x）的图象相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及a的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据切点在f（x）图象上求出切点坐标，求出f′（x）和切线的斜率f′（1），利用点斜式求出切线l的方程，联立直线l的方程与g（x）是解析式，消去y列出方程，利用判别式与方程根的关系列出方程求出a的值；
（Ⅱ）由（I）求出h（x）和定义域，由求导公式和法则求出h′（x），求出临界点后列出表格，由表格和极值的定义求出函数h（x）的极值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：切线l与y=f（x）图象的切点为（1，f（1）），
∵切点（1，f（1））在f（x）=lnx图象上，则f（1）=0，
∴切点为（1，0）…（2分）
又∵${f^'}（x）=\frac{1}{x}$，∴直线l的斜率为：f′（1）=1…（4分）
∴直线l的x-y-1=0…（5分）
∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，
∴方程组$\left\{{{\;}_{y=\frac{1}{2}{x^2}+a}^{y=x-1}}\right.$只有一个解x₀，即方程$\frac{1}{2}{x}^{2}-x+a+1=0$只有一个根，
∴△=1-4×$\frac{1}{2}$（a+1）=0，解得a=$-\frac{1}{2}$；       …（7分）
（Ⅱ）由（I）得，$h（x）=f（x）-g（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$，且定义域为（0，+∞）…（9分）
又$h'（x）=\frac{1}{x}-x=\frac{{1-{x^2}}}{x}$，令h′′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍去）…（11分）
当x变化时，h（x），h′（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	单调递增↗	0	单调递减↘

…（13分）
∴当x=1时，函数$x_0^2+{x_0}+1=0$有极大值，极大值为0，函数h（x）没有极小值．…（14分）

点评 本题考查了导数的运算及法则，导数的几何意义，以及导数与函数的单调性、极值的关系的应用，属于中档题．