Question

6．设数列{a_n}（n∈N）满足a₀=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n-a_n-1}为等差数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}（n∈N）满足a₀=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2，分别令n=0，1即可得出．
（2）由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，变形可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即可证明；
（3）利用（2）与“累加求和”即可得出．

解答 （1）解：∵数列{a_n}（n∈N）满足a₀=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴a₂=2a₁-a₀+2=2×2-0+2=6，a₃=2a₂-a₁+2=12-2+2=12．
（2）证明：由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴数列列{a_n-a_n-1}为等差数列，
且首项 a₁-a₀=2-0=2，公差为2．
（3）解：由（2）可得：a_n-a_n-1=2+2（n-1）=2n．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+4+6+…+2n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．