Question

15．已知a＞b＞c，a+b+c=0，方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂．
（1）证明：-$\frac{1}{2}＜\frac{b}{a}$＜1；
（2）若x₁²+x₁x₂+x₂²=1，求x₁²-x₁x₂+x₂²的值；
（3）设函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，求|AB|长度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知a＞0，c＜0，c=-a-b，代入a＞b＞c可得：-$\frac{1}{2}＜\frac{b}{a}$＜1；
（2）由已知求得$\frac{b}{a}=0或-1（舍去）$，可得：${x_1}^2-{x_1}x{\;}_2+{x_2}^2=3$
（3）|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，结合（1）中结论可得|AB|长度的取值范围．

解答 证明：（1）∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，c=-a-b，
由a＞b可得：$\frac{b}{a}＜1$，…①
由b＞c，可得：b＞-a-b，
即2b＞-a，即$\frac{b}{a}$＞$-\frac{1}{2}$，…②
由①②得：：-$\frac{1}{2}＜\frac{b}{a}$＜1；
（2）若x₁²+x₁x₂+x₂²=1，
则（x₁+x₂）²-x₁x₂=1，
则（$\frac{b}{a}$）²-$\frac{c}{a}$=$\frac{{b}^{2}-ac}{{a}^{2}}$=（$\frac{b}{a}$）²-$\frac{b}{a}$+1=1
解得：$\frac{b}{a}=0或-1（舍去）$，
故$\frac{b}{a}$=0，$\frac{c}{a}$=-1，
∴x₁²-x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-3x₁x₂=（$\frac{b}{a}$）²-3×$\frac{c}{a}$=3．
（3）若函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，
则|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{（\frac{b}{a}）^{2}-4×\frac{c}{a}}$=$\sqrt{{（\frac{b}{a}）}^{2}+4×\frac{b}{a}+4}$=$\sqrt{{（\frac{b}{a}+2）}^{2}}$=|$\frac{b}{a}$+2|，
由（1）中：-$\frac{1}{2}＜\frac{b}{a}$＜1，可得：|$\frac{b}{a}$+2|$∈（\frac{3}{2}，3）$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握韦达定理及二次函数的图象和性质是解答的关键．