Question

已知α、β∈（0，π），且tan（α-β）=

1

2

，tanβ=-

1

7

，2α-β=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：由已知可得tanα的值，由二倍角公式可得tan2α的值，进而可缩小2α的范围可得2α-β的范围，求出tan（2α-β）的值，可得答案．

解答： 解：由题意可得tanα=tan[（α-β）+β]
=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)tanβ

=

1 2 - 1 7

1- 1 2 ×(- 1 7 )

=

1

3

＜1，∴0＜α＜

π

4

，
由二倍角公式可得tan2α=

2tanα

1-tan2a

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

＜1，∴0＜2α＜

π

4

，
∴tan（2α-β）=

tan2α-tanβ

1+tan2αtanβ

=

3 4 -(- 1 7 )

1+ 3 4 ×(- 1 7 )

=1，
∵β∈（0，π），∴-β∈（-π，0），
∴2α-β∈（-π，

π

4

），∴2α-β=--

3π

4

故答案为：-

3π

4

点评：本题考查两角和与差的正切函数，缩小角2α-β的范围是解决问题的关键，属中档题．