Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为，. 已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过作斜率为的直线交椭圆于两点(点在点的左侧)，且. 若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)将和代入椭圆方程求解即可.

(2) 设,,,联立直线与椭圆的方程,根据可得,再代入直线方程与韦达定理,再根据,所以在的中垂线上,进而得出关于的函数解析式,根据坐标求解即可.

（1）因为和都在椭圆上,所以

由①式得,即,所以,代入②式,解得.

所以椭圆的标准方程为.

（2）设,,因为过作斜率为的直线交椭圆于两点,所以.

由得,所以

思路一：

因为,,所以,.

因为,所以,即,

整理得,所以,

又,所以,

即,(*).

所以 则,所以

因为,所以在的中垂线上,则.

所以,即,所以,又,所以.

思路二：

因为,所以,即,所以,

即,所以.

因为,所以在的中垂线上,则.所以,又,则.

所以解得故.

思路三：

因为,所以,所以在的中垂线上,则.

因为,所以,则,所以在的中垂线上,则.

所以解得故.