Question

【题目】如图，在平行六面体中，，，.

（1）证明：.

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取的中点，连结，，推导出，，从而平面，由此能证明．

（2）推导出平面，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解：（1）取的中点，连接，.

∵，∴，

又，四边形是平行四边形，，

∴是等边三角形，∴，

又因为平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）∵平面平面，平面平面，

又，平面

∴平面，

因为平面，

∴，，两两垂直，

以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，

易知平面的一个法向量为，

，，

设平面的法向量，

则，取，得，

即平面的一个法向量为，

，，

，

由图易知二面角为锐二面角，

∴二面角的余弦值为.