Question

【题目】已知函数.

（1）求的极值；

（2）若，且当（为自然对数的底数）时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

根据题意,求函数的定义域和导数,在定义域范围内判断函数的单调性求出极值即可；

根据题意,求出函数的表达式,利用导数判断函数在上的单调性,求出函数的最大值,由题意知,,解不等式即可.

由题意知,定义域为，

因为函数

所以

即，

所以当时,或1，

因为当或时，，

当时，，

所以函数在和上单调递增,在上单调递减，

∴当时,有极大值为，

当时,有极小值为.

因为函数，

所以，

当时，恒成立等价于

当时，，

因为，

令得或，又，

所以当或时,,

当时,,

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

因为，

即，所以，

所以，即，

故实数的取值范围为.