【题目】已知函数
的定义域为
，若
在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若
在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
，所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.
(Ⅰ)已知函数
，若
且
，求实数
的取值范围；
(Ⅱ)已知
，
且的部分函数值由下表给出，
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求证：
；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数
，使得
，
，有
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（I）
(Ⅱ)见解答(Ⅲ)
.
【解析】
试题（I）理解
且
的意义,代入后利用函数的性质求解; (Ⅱ)通过表格得到
，再运用
为增函数建立不等式，导出
，运用
即可. (Ⅲ)判断
即运用反证法证明
,如果
使得
则利用
即
为增函数一定可以找到一个
，使得
，对
成立;同样用反证法证明证明
在上无解;从而得到，
对成立,即存在常数
，使得，
，有
成立,选取一个符合条件的函数
判断
的最小值是,由上面证明结果确定即是符合条件的所有函数的结果.
试题解析：（I）因为
且
，
即
在
是增函数，所以
而
在不是增函数，而
当
是增函数时，有
，所以当不是增函数时，.
综上得
(Ⅱ) 因为，且
所以
，
所以
，
同理可证
，
三式相加得
所以
因为
所以
而
，所以
所以
(Ⅲ) 因为集合
且存在常数
,使得任取
所以，存在常数，使得
对成立
我们先证明对成立
假设使得，
记
因为
是二阶增函数，即是增函数.
所以当
时，
，所以
所以一定可以找到一个，使得
这与对成立矛盾
对成立
所以，对成立
下面我们证明在上无解
假设存在
，使得
，
则因为是二阶增函数，即是增函数
一定存在
，这与上面证明的结果矛盾
所以在上无解
综上，我们得到，对成立
所以存在常数，使得，，有成立
又令，则对成立，
又有
在上是增函数，所以
，
而任取常数
，总可以找到一个
，使得时，有
所以的最小值为.
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【题目】程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（ ）
A.28B.56C.84D.120
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【题目】已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，若椭圆经过点
，且△PF1F2的面积为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为1的直线
与以原点为圆心，半径为
的圆交于A，B两点，与椭圆C交于C，D两点，且
（
），当
取得最小值时，求直线的方程.
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【题目】设等差数列
的公差
，数列
的前
项和为
，满足
，且
，
.若实数
，则称
具有性质
.
（1）请判断
、
是否具有性质
，并说明理由；
（2）设
为数列的前项和，
，且
恒成立.求证：对任意的
，实数
都不具有性质；
（3）设
是数列
的前项和，若对任意的
，
都具有性质，求所有满足条件的的值.
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【题目】已知椭圆
，过
的焦点且垂直于
轴的直线被截得的弦长为
，椭圆的离心率为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过右焦点
的直线
与交于
，
两点，线段
的垂直平分线与
轴相交于点
，求直线的方程.
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为A，过的直线
与y轴交于点M，满足
（O为坐标原点），且直线l与直线
之间的距离为
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在直线
上是否存在点P，满足
？存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知数列
的前
项的和为
，记
．
（1）若是首项为
，公差为
的等差数列，其中，均为正数．
①当
，
，
成等差数列时，求
的值；
②求证：存在唯一的正整数，使得
．
（2）设数列是公比为
的等比数列，若存在
，
（，
，
）使得
，求
的值．
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【题目】如图，已知梯形
中，
，
，
，四边形
为矩形，
，平面
平面．
（1）求证：
平面
；
（2）求平面与平面
所成二面角的正弦值；
（3）若点
在线段
上，且直线
与平面所成角的正弦值为
，求线段的长．
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