Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过的直线与y轴交于点M，满足（O为坐标原点），且直线l与直线之间的距离为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在直线上是否存在点P，满足？存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在两个不同点P，满足

【解析】

（1）根据直线方程求出和焦点，计算出椭圆方程的基本量；

（2）求出满足的点P的轨迹方程，将问题转化为考虑直线与曲线的交点个数问题.

（1）设椭圆C的半焦距为c

因为直线l的方程为，令，得，则点，即.

令，得，则点

由，得，解得，所以.

所以

所以椭圆C的方程为

（2）存在点P，满足

因为直线与直线之间的距离为，

所以，解得或

因为，所以舍去，故

故直线的方程为：

设直线上存在点满足，且点，，

则

整理得，它表示圆心在，半径的圆

因为圆心到的距离为，所以

所以直线与圆相交，

所以在直线存在两个不同点P，满足