Question

【题目】如图，已知平面，，，

且是的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求此多面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题（1）取中点，连接、，结合三角形中位线定理，可得，且，进而得到，结合线面平行的判定定理，即可得到平面；（2）首先判断为正三角形，结合为中点可得，又由已知可得，根据线面垂直的判定定理，可得平面，进而根据面面平行的判定定理，得到平面平面；（3）多面体是以为顶点，以四边形为底边的四棱锥，求出棱锥的高及底面面积，然后代入棱锥的体积公式，即可求出答案.

试题解析：（1）取中点，连结、，为的中点， ，且，又，且 ，且，为平行四边形，， 又平面，平面，平面；

（2），，所以为正三角形，，

平面，，平面，又平面，

，又，，平面，又，平面，

又平面，平面平面；

（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，

，平面平面，

等边三角形边上的高就是四棱锥的高，.