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    【题目】共享单车的投放，方便了市民短途出行，被誉为中国“新四大发明”之一.某市为研究单车用户与年龄的相关程度，随机调查了100位成人市民，统计数据如下：

    不小于40岁

    小于40岁

    合计

    单车用户

    12

    18

    30

    非单车用户

    38

    32

    70

    合计

    50

    50

    100

    （1）从独立性检验角度分析，能否有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关；

    （2）将此样本的频率做为概率，从该市单车用户中随机抽取3人，记不小于40岁的单车用户的人数为，求的分布列与数学期望.

    下面临界值表供参考：

    P（）

    0.15

    0.10

    0.05

    0.25

    0.010

    0.005

    0.001

    k

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    （参考公式：，其中）

    【答案】（1）不能有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关；（2）分布列见详解，数学期望为.

    【解析】

    （1）根据列联表和参考公式，计算的值，再结合临界值表即可得到结果；

    （2）根据题意可知，服从二项分布，根据二项分布的概率计算公式求得分布列，算出数学期望即可.

    （1）

    故不能有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关.

    （2）由题意，单车用户中，不小于40岁的概率为0.4，小于40岁的概率为0.6

    的所有可能取值为0，1，2，3.

    0

    1

    2

    3

    P

    0.216

    0.432

    0.288

    0.064

    故可得

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    （1）求抛物线的方程；

    （2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，，的斜率成等差数列，求点的坐标．

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    第一种：选取共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：；

    第二种：选取共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为：；

    该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效.

    （1）已知第一种试验方案的10个数据的平均数为89，求这组数据的方差；

    （2）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取7只，记其中服药有效的只数为，求的分布列与期望；

    （3）该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中900只为正常白鼠，100只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有变为正常白鼠，但正常白鼠仍有变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用次甲药后此实验室正常白鼠的只数为.

    （i）求并写出与的关系式；

    （ii）要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有950只，求最大的正整数的值.

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    【题目】已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为．

    (1) 求椭圆的标准方程；

    (2)求以为顶点的四边形的面积的取值范围；

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    【题目】如图，已知平面，，，

    且是的中点，.

    （1）求证：平面；

    （2）求证：平面平面；

    （3）求此多面体的体积.

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    【题目】如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.

    （1）证明：；

    （2）若，求二面角的余弦值.

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    【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，设圆与圆的公共弦所在直线为.

    （1）求直线的极坐标方程；

    （2）若以坐标原点为中心，直线顺时针方向旋转后与圆、圆分别在第一象限交于、两点，求.

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    【题目】某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：

    （1）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程；

    （2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为（单位：元）.

    （ⅰ）若日需求量为15个，求；

    （ⅱ）求的分布列及其数学期望.

    相关公式： ，

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    【题目】某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.

    （1）经计算估计这组数据的中位数；

    （2）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率.

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    A：所有芒果以10元/千克收购；

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