Question

【题目】已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为．

(1) 求椭圆的标准方程；

(2)求以为顶点的四边形的面积的取值范围；

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（Ⅰ）利用椭圆的离心率，以及求出a、b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．
②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．

解：(1) 由题意：，

∴，

则椭圆的方程为

(2) ①当两直线一条斜率不存在一条斜率为0时，

②当两直线斜率存在且都不为0时，

设直线方程为

将其带入椭圆方程整理得：

同理，

，当时，

综上所述四边形面积范围是