Question

【题目】如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由折叠过程知与平面垂直，得，再取中点，可证与平面垂直，得，从而可得线面垂直，再得线线垂直；

（2）由已知得为中点，以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦．

（1）易知与平面垂直，∴，

连接，取中点，连接，

由得，，

∴平面，平面，∴，

又，∴平面，∴；

（2）由，知是中点，

令，则，

由，，

∴，解得，故．

以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，

，，设平面的法向量为，

则，取，则．

又易知平面的一个法向量为，

．

∴二面角的余弦值为．