Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的零点个数；

（2）若（为给定的常数，且），记在区间上的最小值为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）①当时，无零点；②当时，有一个零点；③当时，有两个零点；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据解析式求得导函数，并令求得极值点.在极值点两侧，判断导函数的符号，并求得最小值.结合当及时函数值特征，即可确定零点个数.

（2）根据及，可得.进而确定的表达式，代入不等式化简变形，并令，构造函数，求得后由导函数符号判断的单调性及最值，即可证明不等式成立.

（1）函数，

则，

令，解得，

当时，，所以在为单调递减；

当时，，所以在为单调递增；

所以，

当时；

当时；

①当，即时，无零点；

②当，即时，有一个零点；

③当，即时，有两个零点；

（2）证明：因为，

所以，

由（1）可知在区间上的最小值，

，

所以不等式可化为

，

移项化简可得，

所以，

即，

令，则.

所以原不等式可化为，

令.

则，

所以在单调递减，

则，

即成立，

原不等式得证.