【题目】为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成
，
，
，
，
，
六组，得到如下频率分布直方图.
（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若从答对题数在
内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在内的概率.
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【题目】已知抛物线C：
的焦点为F，Q是抛物线上的一点，
．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点
作直线l与抛物线C交于M，N两点，在x轴上是否存在一点A，使得x轴平分
？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．
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【题目】某连锁餐厅新店开业，打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近
次食品交易会参会人数
（万人）与餐厅所用原材料数量
（袋），得到如下统计表：
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数（万人） |
|
|
|
|
|
原材料（袋） |
|
|
|
|
|
（1）根据所给组数据，求出关于的线性回归方程
；
（2）已知购买原材料的费用
（元）与数量
（袋）的关系为
，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为
元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有
万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润
销售收入
原材料费用）.
参考公式：
，
.
参考数据：
，
，
.
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【题目】有限个元素组成的集合
，
，记集合
中的元素个数为
，即
.定义
，集合
中的元素个数记为
，当
时，称集合具有性质
.
（1）
，
，判断集合，
是否具有性质，并说明理由；
（2）设集合
，
且
(
)，若集合具有性质，求
的最大值；
（3）设集合，其中数列
为等比数列，
(
)且公比为有理数，判断集合是否具有性质并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点
，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
.
（1）若直线与圆相切，求
的值；
（2）直线与圆相交于不同两点
，
，线段
的中点为
，求点的轨迹的参数方程.
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【题目】如图，某校打算在长为1千米的主干道
一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域
（
为直角）和以
为直径的半圆形区域组成，点
（异于
，
）为半圆弧上一点，点
在线段上，且满足
.已知
，设
，且
.初步设想把咨询台安排在线段
，
上，把宣传海报悬挂在弧和线段上.
（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让
最大，求该最大值；
（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧和线段的长度之和最大，求此时的
的值.
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【题目】如图，要利用一半径为
的圆形纸片制作三棱锥形包装盒.已知该纸片的圆心为
，先以为中心作边长为
（单位：
）的等边三角形
，再分别在圆上取三个点
，
，
，使
，
，
分别是以
，
，
为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合于点
，即可得到正三棱锥
.
（1）若三棱锥是正四面体，求
的值；
（2）求三棱锥的体积
的最大值，并指出相应的值.
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【题目】已知离心率为
的椭圆
的左顶点为
，左焦点为
，及点
，且
、
、
成等比数列．
（1）求椭圆
的方程；
（2）斜率不为
的动直线
过点
且与椭圆相交于
、
两点，记
，线段
上的点
满足
，试求
（
为坐标原点）面积的取值范围．
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