Question

【题目】有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质.

（1），，判断集合，是否具有性质，并说明理由；

（2）设集合，且()，若集合具有性质，求的最大值；

（3）设集合，其中数列为等比数列，()且公比为有理数，判断集合是否具有性质并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析.（2）.（3）集合具有性质，理由见解析.

【解析】

（1）根据定义即可判断，进而得出答案.

（2）运用反证法即可得出答案.

（3）设，假设当时有成立，进而结合反证法证明假设不成立，进而得出答案.

（1）集合不具有性质，集合具有性质.

，不具有性质；

，具有性质.

（2）若三个数，，成等差数列，则不具有性质，理由是.

因为且()所以，

要使取最大，则；

，易知不具有性质，要使取最大，

则；

，要使取最大，检验可得；

（3）集合具有性质.

设等比数列的公比为为，所以()且为有理数，

假设当时有成立，则有

因为为有理数，设(，)且(，互质)，因此有

即（1），

（1）式左边是的倍数，右边是的倍数，又，互质，

显然不成立.

所以，所以集合具有性质.