Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点为，，上、下顶点为，，四边形是面积为2的正方形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，过点的直线与椭圆交于，两点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）利用正方形的面积和边长关系列方程组，结合解方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.

（2）当直线斜率不存在时，根据对称性判断出；当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出韦达定理，计算，由此证得.

（1）解：∵四边形是面积为2的正方形，

∴，

又，∴，

则椭圆的标准方程是；

（2）证明：由（1）知，，

当直线的斜率不存在时，轴，

则点，关于轴对称，

此时有，；

当直线的斜率存在时，

设直线的方程为，

联立消去得，

，

设，，

则，，

∵，∴

，

即，∴.