Question

【题目】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=，BC=AA1=2，O，M分别为BC，AA1的中点.

（1）求证：OM∥平面CB1A1；

（2）求点M到平面CB1A1的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接BC1，交CB1于点N，则N为CB1的中点，连接ON，可得ON∥BB1，再结合ON=MA1，可得四边形ONA1M为平行四边形，则有OM∥NA1，再由线面平行的判定可证得OM∥平面CB1A1；

（2）由OM∥平面CB1A1，可知点M到平面CB1A1的距离等于点O到平面CB1A1的距离，然后利用等积法可求解.

（1）如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON.

则N为CB1的中点，

又∵O为BC的中点，

∴ON∥BB1，且ON=BB1，

又∵M为AA1的中点，

∴MA1∥BB1，且MA1=BB1，

∴ON∥MA1且ON=MA1，

∴四边形ONA1M为平行四边形，

∴OM∥NA1，

又∵NA1平面CB1A1，OM平面CB1A1，

∴OM∥平面CB1A1.

（2）如图，连接AO，OB1，AB1.

∵AB=AC，O为BC的中点，∴AO⊥BC，

又∵直三棱柱ABCA1B1C1中，平面CBB1C1⊥平面ABC，

∴AO⊥平面CBB1C1.

由（1）可知OM∥平面CB1A1，

∴点M到平面CB1A1的距离等于点O到平面CB1A1的距离，设其为d，

在直三棱柱ABCA1B1C1中，由AB=AC=，BC=AA1=2可得，AO=1，A1B1=，A1C=，B1C=，

∴△CB1A1是直角三角形，且.

由得，

故d=.即点M到平面CB1A1的距离为.