Question

【题目】已知圆，圆，如图，分别交轴正半轴于点.射线分别交于点，动点满足直线与轴垂直，直线与轴垂直.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线交曲线与点，射线与点，且交曲线于点.问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，为.

【解析】

(1) 设,再根据三角函数的关系可得,,进而消参求得轨迹的方程即可.

(2) 设直线的方程为,再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简,代入韦达定理求解即可.

解：方法一：（1）如图设,则

,所以,.

所以动点的轨迹的方程为.

方法二：（1）当射线的斜率存在时,设斜率为,方程为,

由得,同理得,所以即有动点的轨迹的方程为.当射线的斜率不存在时,点也满足.

（2）由（1）可知为的焦点,设直线的方程为（斜率不为0时）且设点,,由得

所以,所以

又射线方程为,带入椭圆的方程得,即

,

所以

又当直线的斜率为时,也符合条件.综上,为定值,且为.