【题目】已知函数.
(1)若曲线在
处的切线与直线
垂直,求实数a的值;
(2)若函数在
上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)当时,若方程
有两个相异实根
,
,
,求证
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)先利用导数的几何意义求出切线斜率,进而利用两直线的垂直关系建立参数所满足的方程进行求解;
(2)将函数的单调性转化为导函数的符号不变性进而分离参数,将不等式恒成立转化为新函数的最值问题,再利用导数求解最值,从而求得实数的取值范围;
(3)当时,若方程
有两个相异实根
,
,
,即
,令
,讨论
的单调性,得
,令
,
,
设,
,求
的单调性,得
,即
,结合
的单调性即可证得结论.
(1)依题意知的定义域为
,
求导得,
根据题意的斜率为
,
所以在
处的切线斜率为3,
即,
.
(2)令,
依题意有对
恒成立,即
恒成立,
,
单调递减,
,
实数a的取值范围为.
(3)当时,若方程
有两个相异实根
,
,
,
即,
又令,
,
在
上递减,
递增,则
,
,且
,
又,故
,
,
,
,
,
设,
,
,
在
递增,
,
,又
在
上递减,
,即
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,要利用一半径为的圆形纸片制作三棱锥形包装盒.已知该纸片的圆心为
,先以
为中心作边长为
(单位:
)的等边三角形
,再分别在圆
上取三个点
,
,
,使
,
,
分别是以
,
,
为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以
,
,
为折痕折起
,
,
,使得
,
,
重合于点
,即可得到正三棱锥
.
(1)若三棱锥是正四面体,求
的值;
(2)求三棱锥的体积
的最大值,并指出相应
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知离心率为的椭圆
的左顶点为
,左焦点为
,及点
,且
、
、
成等比数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率不为的动直线
过点
且与椭圆
相交于
、
两点,记
,线段
上的点
满足
,试求
(
为坐标原点)面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆,圆
,如图,
分别交
轴正半轴于点
.射线
分别交
于点
,动点
满足直线
与
轴垂直,直线
与
轴垂直.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点作直线
交曲线
与点
,射线
与点
,且交曲线
于点
.问:
的值是否是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的多面体中,平面平面
,四边形
为边长为2的菱形,
为直角梯形,四边形
为平行四边形,且
,
,
.
(1)若,
分别为
,
的中点,求证:
平面
;
(2)若,
与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程和
的直角坐标方程;
(2)直线与曲线
,
分別交于第一象限内
,
两点,求
.
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【题目】某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查,若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;
(2)求抽取的6所学校中的2所学校均为小学的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:的离心率为
,
的面积为2.
(I)求椭圆C的方程;
(II)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线与直线
交于点P,直线
与直线
交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.
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