【题目】如图,四棱台中,底面
是菱形,
底面
,且
,
,
是棱
的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)推导出⊥BD.BD⊥AC.从而BD⊥平面AC
,由此能证明
.
(2)如图,设AC交BD于点O,以O为原点,OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角E﹣﹣C的余弦值.
证明:(1)因为⊥底面ABCD,所以
⊥BD.
因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面A.
又由四棱台ABCD﹣知,
,A,C,
四点共面.
所以BD⊥.
(2)如图,设AC交BD于点O,依题意,∥OC且
=OC,
所以O∥C
,且
O=C
.所以
O⊥底面ABCD.
以O为原点,OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则,
由,得B1(
).
因为E是棱BB1的中点,所以E(),所以
(
),
(﹣2
,0,0).
设(x,y,z)为平面
的法向量,
则,取z=3,得
(0,4,3),
平面的法向量
(0,1,0),
又由图可知,二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角,
设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ,
则cosθ,
所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为.
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【题目】已两动圆和
,把它们的公共点的轨迹记为曲线
,若曲线
与
轴的正半轴交点为
,且曲线
上异于点
的相异两点
、
满足
.
(1)求曲线的方程;
(2)证明直线恒经过一定点,并求出此定点的坐标.
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【题目】如图,点为圆
:
上一动点,过点
分别作
轴,
轴的垂线,垂足分别为
,
,连接
延长至点
,使得
,点
的轨迹记为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点,
分别位于
轴与
轴的正半轴上,直线
与曲线
相交于
,
两点,试问在曲线
上是否存在点
,使得四边形
为平行四边形,若存在,求出直线
方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知梯形中,
,
,
,
,
是
上的点,
是
的中点,沿
将梯形
折起,使平面
平面
.
(1)当时,求证:
;
(2)记以为顶点的三棱锥的体积为
,求
的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角
的大小.
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【题目】已知动圆过定点
,并且内切于定圆
.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)若上存在两个点
,
,(1)中曲线上有两个点
,
,并且
,
,
三点共线,
,
,
三点共线,
,求四边形
的面积的最小值.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. “”是“
”成立的充分不必要条件
B. 命题,则
C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40
D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为,则回归直线方程为
.
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【题目】在平面坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线
的极坐标方程为
.
(1)把曲线的方程化为普通方程,
的方程化为直角坐标方程
(2)若曲线,
相交于
两点,
的中点为
,过
点作曲线
的垂线交曲线
于
两点,求
.
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【题目】某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元.
(1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达式;(总开发费用=总建筑费用+购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层?
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