【题目】如图,点为圆
:
上一动点,过点
分别作
轴,
轴的垂线,垂足分别为
,
,连接
延长至点
,使得
,点
的轨迹记为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点,
分别位于
轴与
轴的正半轴上,直线
与曲线
相交于
,
两点,试问在曲线
上是否存在点
,使得四边形
为平行四边形,若存在,求出直线
方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)这样的直线不存在.详见解析
【解析】
(1)设,
,则
,
,且
,通过
,转化求解即可.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知直线的斜率存在且不为零,设直线
的方程为
,代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程,假设存在点Q,满足题意,则其充要条件为
,则点Q的坐标为(x1+x2,y1+y2).由此利用韦达定理结合点Q在曲线
上,得到关于k的方程求解即可.
(1)设,
,
则,
,
由题意知,所以
为
中点,
由中点坐标公式得
,
即,
又点在圆
:
上,故满足
,
得.
(2)由题意知直线的斜率存在且不为零,
设直线的方程为
,
因为,故
,即
①,
联立,
消去得:
,
设,
,
,
,
,
因为为平行四边形,故
,
点在椭圆上,故
,整理得
,②,
将①代入②,得,该方程无解,
故这样的直线不存在.
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【题目】如图所示,在梯形CDEF中,四边形ABCD为正方形,且,将
沿着线段AD折起,同时将
沿着线段BC折起,使得E,F两点重合为点P.
求证:平面
平面ABCD;
求直线PB与平面PCD的所成角的正弦值.
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【题目】某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:
①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值单位:
与游玩时间
小时)满足关系式:
;
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为即累积经验值不变);
③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.
⑴当时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式
,并求出游玩6小时的累积经验值;
⑵该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作;若
,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.
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【题目】已知是由非负整数组成的无穷数列,对每一个正整数
,该数列前
项的最大值记为
,第
项之后各项
的最小值记为
,记
.
(1)若数列的通项公式为
,求数列
的通项公式;
(2)证明:“数列单调递增”是“
”的充要条件;
(3)若对任意
恒成立,证明:数列
的通项公式为
.
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【题目】如图,矩形中,
为
的中点,将
沿直线
翻折成
,连结
,
为
的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的序号是_______.
①存在某个位置,使得;
②翻折过程中,的长是定值;
③若,则
;
④若,当三棱锥
的体积最大时,三棱锥
的外接球的表面积是
.
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【题目】已知是抛物线
上一点,经过点
的直线
与抛物线
交于
、
两点(不同于点
),直线
、
分别交直线
于点
、
.
(1)求抛物线方程及其焦点坐标;
(2)求证:以为直径的圆恰好经过原点.
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