【题目】已两动圆和
,把它们的公共点的轨迹记为曲线
,若曲线
与
轴的正半轴交点为
,且曲线
上异于点
的相异两点
、
满足
.
(1)求曲线的方程;
(2)证明直线恒经过一定点,并求出此定点的坐标.
【答案】(1);(2)直线
恒过定点
。
【解析】
(1)设两动圆的公共点为,则有
,运用椭圆的定义,即可得到
,
,
,进而得到
的轨迹方程;
(2),设
,
,
,
,根据直线
的斜率不存在和存在,设出直线方程,根据条件,运用向量的数量积的坐标表示,结合韦达定理和直线恒过定点的求法,即可得到定点;
解:(1)设两动圆的公共点为,则有
.
由椭圆的定义可知的轨迹是以
、
为焦点椭圆,且
.
,
所以曲线的方程是:
.
(2)证明:由题意可知:,设
,
,
,
,
当的斜率不存在时,易知满足条件
的直线
为:
,过定点
;
当的斜率存在时,设直线
,联立方程组:
,
把②代入①有:,
③,
④,
因为,所以有
即
,
,
把③④代入整理:,
(有公因式继续化简得
,
或
(舍去
,
综上,直线恒过定点
.
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【题目】如图所示,在梯形CDEF中,四边形ABCD为正方形,且,将
沿着线段AD折起,同时将
沿着线段BC折起,使得E,F两点重合为点P.
求证:平面
平面ABCD;
求直线PB与平面PCD的所成角的正弦值.
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【题目】已知偶函数满足
,现给出下列命题:①函数
是以2为周期的周期函数;②函数
是以4为周期的周期函数;③函数
为奇函数;④函数
为偶函数,则其中真命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在直角坐标平面上的一列点简记为
,若由
构成的数列
满足
,(其中
是与
轴正方向相同的单位向量),则称
为“
点列”.
(1)试判断:,...是否为“
点列”?并说明理由.
(2)若为“
点列”,且点
在点
的右上方.任取其中连续三点
,判断
的形状(锐角,直角,钝角三角形),并证明.
(3)若为“
点列”,正整数
满足:
,且
,求证:
.
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【题目】已知偶函数满足
,现给出下列命题:①函数
是以2为周期的周期函数;②函数
是以4为周期的周期函数;③函数
为奇函数;④函数
为偶函数,则其中真命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:
①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值单位:
与游玩时间
小时)满足关系式:
;
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为即累积经验值不变);
③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.
⑴当时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式
,并求出游玩6小时的累积经验值;
⑵该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作;若
,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.
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