Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为和，由4个点、、和组成了一个高为，面积为的等腰梯形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线和椭圆交于两点、，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】

（1）由梯形的条件得，，求得，后得椭圆方程；

（2）直线的斜率不能为0，设直线方程为，直线与椭圆交于，．

直线方程代入椭圆方程化简后应用韦达定理得，而的面积为，代入后，变形整理，令换元后由函数单调性可得面积的最大值．

解：（1）由条件，得，且，所以．

又，解得，，所以椭圆的方程．

（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为，直线与椭圆交于，．

联立方程，消去得，，

因为直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交．

∴，

．

令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增，所以当即时，，取最大值3．