Question

数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2ⁿ+n，则数列{a_n}的通项公式为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由递推式利用累加法即可求得a_n，注意检验n=1时的情形．

解答： 解：由a_n+1=a_n+2ⁿ+n，得a_n+1-a_n=2ⁿ+n，
∴当n≥2时，a₂-a₁=2+1，a₃-a₂=2²+2，…，a_n-a_n-1=2^n-1+n-1，
以上各式相加，得a_n-a₁=（2+2²+…+2^n-1）+（1+2+…+n-1）=

2(1-2n-1)

1-2

+

(n-1)n

2

=2ⁿ-2+

(n-1)n

2

，
又a₁=1，∴a_n=2ⁿ+

n2-n-2

2

，
a₁=1适合该式，
∴a_n=2ⁿ+

n2-n-2

2

．
故答案为：a_n=2ⁿ+

n2-n-2

2

．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项，累加法是求数列通项的常用方法，要熟练掌握，注意其使用特征．