Question

已知函数f（x）=x²-3x，x∈[a-

1

2

，a+

1

2

]，a∈R．设集合M={（m，f（n））|m，n∈[a-

1

2

，a+

1

2

]}，若M中的所有点围成的平面区域面积为S，则S的最小值为

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：设f（n）∈[p，q]，则M中的所有点围成的平面区域面积为S=[（a+

1

2

）-（a-

1

2

）]（q-p）=（q-p），分情况讨论求出f（n）的值域，然后表示出S，即可求出S的最小值．

解答： 解：（1）当a+

1

2

≤

3

2

即a≤1时，f（x）在[a-

1

2

，a+

1

2

]上单调递减，
f（a+

1

2

）≤f（n）≤f（a-

1

2

），即f（n）∈[a²-2a-

5

4

，a²-4a+

7

4

]，
此时，S=[（a+

1

2

）-（a-

1

2

）]（a²-4a+

7

4

-a²+2a+

5

4

）=（-2a+3）≥1，
（2）当a-

1

2

≥

3

2

即a≥2时，f（x）在[a-

1

2

，a+

1

2

]上单调递增，
f（n）∈[a²-4a+

7

4

，a²-2a-

5

4

]
此时，S=（2a-3）≥1；
（3）当1≤a≤

3

2

时，f（n）∈[0，a²-2a-

5

4

]
此时，S=（a²-2a-

5

4

-f（

3

2

）]=（a²-2a+1）≥

1

4

；
（4）当

3

2

＜a＜2时，f（n）∈[0，a²-4a+

7

4

]
此时，S=（a²-4a+

7

4

-f（

3

2

）]=（a-2）²＞

1

4

；
综上所述，S≥

1

4

，即S的最小值为

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的值域的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．