Question

证明：函数f（x）=x+

a

x

（a＞0），在（0，

a

）上单调递减，在（

a

，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：先求出函数的导数，通过x的范围，确定

x2-a

x2

的符号，从而得出函数的单调性．

解答： 证明：f′（x）=1-

a

x2

，
当x∈（0，

a

]时，
f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

＜0，
∴f（x）=x+

a

x

在（0，

a

]上单调递减，
当x∈（

a

，+∞]时，
f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

＞0，
∴f（x）=x+

a

x

在（

a

，+∞]上单调递增．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了分类讨论思想，是一道基础题．